भारतीयांनी शोधलेल्या संख्या, त्यांची चिन्हे, दशमान पद्धती ह्या सर्वांवर गेल्या चार लेखात आपण एक दृष्टिक्षेप टाकला. संख्यांच्या आकलनापाठोपाठ साहजिकच त्यांच्यावरील क्रिया आम्हास अवगत होऊ लागल्या, ज्यात बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार ह्या अगदी मूलभूत क्रिया तसेच संख्येचा घात, संख्येचे मूळ वगैरे प्रगत क्रियांचा अंतर्भाव होतो. त्रैराशिक ही पद्धत अंकगणितातील कठोर तर्कशास्त्राची द्योतक आहे. आपल्याकडे केवळ त्रैराशिकच नाही तर पांचराशिक, साप्तराशिक वगैरे पद्धतीही उपलब्ध होत्या असे म्हणतात.

अंकगणिताची पुढली पायरी म्हणजे बीजगणित, आणि बीजगणित म्हटलं की चटकन डोळ्यापुढे उभी राहतात ती x, y, z, वगैरे अज्ञात चलपदे आणि त्यांच्यातील (पटकन न सुटणारी) समीकरणे. ह्यात एकरेषीय समीकरणे, वर्ग समीकरणे तसेच एकसामायिक समीकरणे सर्वांनी शिकलेली असतात. समीकरणांच्या अभ्यासानंतर येतात ती अवयव पाडण्यासंबंधीची सूत्रे, ज्यात दोन राशींच्या वर्गांमधील किंवा घनांमधील फरकाची सूत्रे आढळतात. सुविख्यात ‘बायनॉमिअल थेरम’ ह्याचाही इथे अंतर्भाव करता येईल. शालेय किंवा महाविद्यालयीन शिक्षण यशस्वीपणे पार पडलेल्या जवळपास कोणत्याही व्यक्तीस बीजगणितातील ह्या मूलभूत गोष्टी कमीअधिक प्रमाणात ज्ञात असतात. मात्र त्या मुळात इथेच विकसन पावल्या होत्या ह्याचा त्याला अंदाजही नसतो. आमच्या पूर्वजांनी समीकरणांवर उदंड विचार केला होता आणि विविध समीकरणे सोडवण्याच्या अनेक पद्धती विकसित केल्या होत्या.

बीजगणिताला इंग्लिशमध्ये अल्जिब्रा म्हटलं जातं. ह्या शब्दाचा संबंध अनेकांनी ‘अल् जबार्’ नामक कोणा अरब व्यक्तीशी/गणित्याशी जोडण्याचा प्रयत्नही केला आहे. आर्यभट्ट ह्या नावाने ओळखल्या जाणाऱ्या आर्यभट ह्या भारतीय गणित्याचे नाव आपणास माहीत आहे. प्रस्तुत लेखमालेतही ह्यापूर्वी आर्यभट आणि त्याने उपयोगात आणलेली काहीशी वैचित्र्यपूर्ण संख्यापद्धती ह्यावर थोडासा प्रकाश टाकला होताच. संस्कृतात ‘र्’ आणि ‘ल्’ ह्यांच्यात क्वचित थारेपालट होतो (र्  आणि ल्  या मधील वर्णविपर्यय सांगणारं  ‘रलयोरभेद:’ हे संस्कृत भाषेतील वचन प्रख्यात आहेच). तसंच बरेचदा मूळ संस्कृत शब्दातील ‘य्’चा अन्य भाषेत ‘ज्’ झालेलाही दिसून येतो. (उदा: योगी-जोगी). आता ह्या दोन नियमांचा एकत्रित विचार करता, आर्यभट हा शब्द पश्चिमेकडे सरकत असता आल्जभट असा झाला असल्याची शक्यता नाकारता येत नाही. तसेच ‘ट्’ चे आधी ‘ड्’ आणि नंतर ‘र्’ असे परिवर्तन (तीन्ही व्यंजने मूर्धन्य असल्यामुळे) होऊन तो ‘आल्जभर’ असाही झालेला असू शकतो. त्याचंच आधुनिक रूप अल्जिब्रा नसेल कशावरून?

आणि आर्यभटाचा अल्जिब्राशी घनिष्ठ संबंध होताच! दीड हजारहून अधिक वर्षांपूर्वी त्याने लिहिलेल्या आर्यभटीय ग्रंथात त्याचा समीकरणांवरील विचार स्पष्टपणे दिसून येतो. समजा a, b, c, d ह्या ज्ञात राशी असतील व x अज्ञात असेल आणि जर xa + b = xc + d अशी स्थिती असेल तर अज्ञात x ची किंमत (d-b)/(a-c) येते हे त्याने लिहिले आहे.  ह्या साध्या वाटणाऱ्या समीकरणाची उकल दिल्यावर लगेचच त्याचं उपयोजन म्हणून तो दोन समान किंवा विरुद्ध दिशेत जाणाऱ्या वाहनांच्या सापेक्ष गतीची आकडेमोड देतो. तिथेही अशाच स्वरूपात सापेक्ष गती मांडता येते.

आर्यभटास वर्ग समीकरणांचा निश्चित अंदाज होता. श्रेढी गणितावरील उकल देताना त्याने वर्ग समीकरणाच्या संबंधात प्रख्यात असलेलं सूत्र (-b±√(b^2-4ac))/2  वापरल्याचं दिसतं. इथे श्रेढी गणित म्हणजे काय हे चटकन कोणाला समजणार नाही. ‘ज्याला इंग्लिशमध्ये प्रोग्रेशन म्हणतात तो हा प्रकार’ अशी त्याची सोपी व्याख्या दिल्यावर आता लक्षात यायला हरकत नाही. एकापुढे एक अशा संख्या लिहीत गेल्यावर तयार होणाऱ्या गणिती वस्तूला श्रेढी असं म्हणतात. ह्या संख्या निर्हेतुकत: लिहिल्या गेल्या तर अशा श्रेढीबद्दल कोणतंच निश्चित गणित मांडता येणार नाही. मात्र हे लेखन हेतुपूर्वक आणि कोणत्यातरी विशिष्ट नियमाला धरून केलं गेलं तर अशा स्थितीत त्या त्या श्रेढीबद्दल आपण अनेक तर्क करू शकतो. अशा एखाद्या श्रेढीतील संख्यांची बेरीज, एखाद्या स्थानावर असलेली संख्या निश्चित सांगणे ह्या सगळ्या गणिती क्रिया शक्य होतात. आर्यभटाने म्हटलंय.

इष्टं व्येकं दलितं सपूर्वमुत्तरगुणं समुखं मध्यम्।

इष्टगुणितमिष्टधनं त्वथवा आद्यन्तं पदार्धहतम्॥

इथे आर्यभट समांतर श्रेढीबद्दल काही नियम सांगत आहे. समांतर श्रेढी म्हणजे अशी श्रेढी जिच्यात दोन लगतच्या संख्यांमधील भेद समान असतो. (उदा: १, ४, ७, १०, १३,… ही समांतर श्रेढी आहे कारण इथे कोणत्याही दोन लगतच्या संख्यांमधील भेद ३ आहे. तसेच ५, १२, १९, २६, ३३,… हीसुद्धा समांतर श्रेढीच आहे).

आर्यभटाच्या म्हणण्यानुसार, समांतर श्रेढीतील पदांच्या संख्येमधून एक वजा करा व त्या वजाबाकीस दोनने भागा. त्याला श्रेढीतील लगतच्या संख्यांमधील भेदाने गुणा व त्यात पहिले पद मिळवा. ही झाली त्या श्रेढीतील संख्यांची सरासरी. आता ह्याच सरासरीला श्रेढीतील असलेल्या पदांच्या संख्येने गुणल्यावर त्या श्रेढीतील संख्यांची एकूण बेरीज मिळते. हे काहीसं क्लिष्ट वाटणारं गणित आपण थोडं सोपं करूया. समजा, श्रेढीतील पहिल्या संख्येला a, श्रेढीत असलेल्या पदसंख्येला n व लगतच्या संख्यांमधील भेदाला d म्हटलं, तर आर्यभटाच्या पहिल्या वाक्यानुसार, सरासरी = a + ((n-1)/2)d. तसेच n(a + ((n-1)/2)d) म्हणजे श्रेढीतील संख्यांची बेरीज होय. आधुनिक गणितात हेच सूत्र (n/2)(2a+(n-1)d) अशा पद्धतीने लिहिलं जातं.

उच्च गणितात ज्यांना ट्रॅङ्ग्युलर नंबर्स म्हणतात त्यांचाही विचार आर्यभटीयात झालेला दिसून येतो. १, ३, ६, १०, १५,… ही श्रेढी ह्या ट्रॅङ्ग्युलर संख्यांचीच श्रेढी आहे. हिच्यात लगतच्या संख्यांमधील भेद समान नाही, मात्र इथे एक वेगळीच गंमत बघायला मिळते, ३-१=२, ६-३=३, १०-६=४, १५-१०=५,… म्हणजे भेद असमान आहेत मात्र त्या भेदसंख्या स्वत:च समांतर श्रेढी तयार करतात जिच्यात लगतच्या संख्यांमधील भेद १ इतकाच असतो. आर्यभटाने लिहिलंय…

एकोत्तरादि-उपचिते: गच्छादि-एकोत्तर-त्रिसंवर्ग:।

षड्भक्त: स चितिघन: स एकपदघनो विमूलो वा॥

ह्यात आर्यभटाने ज्या चितिघनाचा उल्लेख केला आहे तो आधी समजून घ्यायला पाहिजे. त्यासाठी खालील आकृती पाहा.

अशी कल्पना करता येईल की अगदी डावीकडे जे चित्र दिसतंय ते आहे जमिनीवर एकमेकांना चिकटून ठेवलेल्या दहा गोलांचे चित्र आहे. त्यांच्यावर त्यांच्या उजवीकडील सहा गोल (खाली दाखवल्याप्रमाणे) ठेवता येतील.

त्या सहा गोलांवर (त्यांच्याही उजवीकडील) तीन तर सर्वात वरती एक गोल ठेवता येईल व गोलांचा एक पिरॅमिडच तयार करता येईल. हा पिरॅमिड अर्थातच हवा तितका मोठा करता येईल. सर्वात खाली असलेल्या दहा गोलांच्या खाली पंधरा, त्यांच्याही खाली एकवीस… असं करत हा पिरॅमिड हवा तितका वाढवता येईल. ह्या आकृतीलाच आर्यभट चितिघन म्हणतो. आर्यभटाला पडलेला प्रश्न असा की अशा चितिघनात एकूण किती गोल असतील? ह्या गोलांची संख्या १ + ३ + ६ + १० + … अशी असणार, पण मग त्या संख्येसाठी काही सूत्र शक्य आहे का? आजच्या विद्यार्थ्यांनाही अशा श्रेढीतील संख्यांची बेरीज काढणं आव्हानात्मक जातं. वरच्या काव्यपंक्तीत आर्यभटाने तेच सूत्र दिलं आहे. त्याच्या म्हणण्यानुसार, अशा चितिघनाच्या श्रेढीतील ‘पदसंख्या’, ‘पदसंख्या अधिक एक’ आणि ‘पदसंख्या अधिक दोन’ ह्या तीन राशींच्या गुणाकारास सहाने भागले असता अशा चितिघनातील एकूण गोलांची संख्या आपणास मिळते. उदाहरण म्हणून आपण इथे काढलेली आकृतीच विचारात घेऊ. प्रस्तुत आकृतीत २० गोल आहेत हे तर आपणास माहीत आहेच. १, ३, ६, १० अशी ही श्रेढी आहे हेही आपणास माहीत आहे. म्हणजेच प्रस्तुत श्रेढीत चार पदं आहेत. ४, ५ व ६ ह्यांचा गुणाकार होतो १२० आणि आता ह्या १२०स सहाने भागले असता उत्तर येते २०!

समजा सर्वात खालचे १० गोल काळ्या रंगाचे, त्यांच्यावरील ६ गोल लाल रंगाचे, त्यांच्याही वरचे तीन गोल पिवळ्या रंगाचे व सर्वात वरचा गोल निळ्या रंगाचा अशी कल्पना केली तर हा (१+३+६+१०=) २० गोलांचा चितिघन वरून पाहता किती सुंदर दिसतो ते जाता जाता बघायला हरकत नाही.

समीकरणांचा अजून एक अवघड प्रकार असा की ज्यात असलेल्या अज्ञात राशींची किंमत फक्त पूर्णांक असणे अपेक्षित असते. अशीही समीकरणे असतात की ज्यांना एकच एक निश्चित उकल नसते. अनेक राशी त्या समीकरणाचं समाधान करू शकतात. मात्र त्या राशींची किंमत फक्त पूर्णांकच हवी असल्यास अशी समीकरणे सोडवणे कठीण होऊन बसते. ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य ह्यांनी अशी समीकरणे सोडविली होती. त्यांचा विचार आपण पुढील लेखात करणार आहोत.

Views expressed in the article are of the author and does not necessarily reflect the official position of Mimamsa: An Indic Inquiry

या लेखमालेतील इतर लेख इथे वाचा.