गेल्या लेखात आपण भारतीयांनी केलेल्या समीकरणांवर आणि श्रेढी गणितावर केलेल्या विचारांवर चिंतन केलं. समीकरण हा तसा फार मोठा विषय आहे. शालेय गणितात आपण एकघातीय (Linear), द्विघातीय (Quadratic) तसेच एकसामायिक (Simultaneous) समीकरणं अभ्यासली असतात, सोडवलीही असतात. समीकरण सोडवणं हे खरंतर आव्हानात्मक काम आहे. तथापि, आपल्याला कायमच तयार सूत्रे किंवा तयार पद्धती शिकवल्या जात असल्यामुळे आणि समीकरणांच्या पाठातली बहुतेक सगळीच गणिते चुटकीसरशी सुटणारी असल्यामुळे समीकरणांची आव्हानात्मकता अधोरेखित होत नाही. त्याहूनही वाईट गोष्ट ही की कोणत्याही समीकरणांची उकल ही एखादी विशिष्ट संख्या (किंवा फारतर दोन विशिष्ट संख्या) येत असल्यामुळे, प्रत्येक समीकरणाला उकल असतेच व ती एखादीच (किंवा फारतर दोन) संख्या असते असा गैरसमज होऊन बसतो. वस्तुत: दिलेल्या समीकरणाची उकल अनेक गोष्टींवर अवलंबून असते. अगदी साधं उदाहरण द्यायचं झालं तर 2x + 3 = 5 असं समीकरण विचारात घ्या. अशा समीकरणाची उकल x = 1, अशी एकमेव असते हे लक्षात यायला हरकत नाही. मात्र, किंचित बदल करून 2x² + 3 = 5 असं समीकरण विचारात घेता, ह्याचं समाधान x = 1 किंवा x = -1 अशा दोन वेगवेगळ्या संख्यांकडून होते हे सहज लक्षात यावं. त्याचप्रमाणे 2x + 3y = 5 असं समीकरण विचारात घेतलं तर ह्याचं समाधान x = 1, y = 1 ह्या संख्या, किंवा x = 4, y = -1, अगर x = -2, y = 3 अशा अनेक संख्या करू शकतात. किंबहुना x साठी कोणतीही किंमत घातली तरीही y ची एखादी योग्य किंमत विचारात घेता येऊ शकते. पण समजा, x  आणि y ह्या फक्त धन पूर्णांकच हवे असतील तर?

अशी कल्पना करा की, तुम्ही एखाद्या दुकानात काही खरेदी करायला गेलात. समजा तुमच्याकडे फक्त दोन रुपयाची नाणी आहेत (ती मात्र मोठ्या संख्येत आहेत), व दुकानदाराकडे केवळ पाच रुपयाची नाणी आहेत (तीही प्रचंड मात्रेत आहेत). समजा तुम्ही घेतलेली वस्तू १०० रुपयाची आहे. तर मग तुम्ही २ रुपयाची ५० नाणी द्याल. समजा ती वस्तू १०१ रुपयाची असेल तर? तुमच्याकडे तर फक्त २ रुपयाचीच नाणी आहेत. हरकत नाही. तुम्ही ५३ नाणी द्या, दुकानदार ५ रुपयाचं एक नाणं परत करेल… हिशेब संपला. म्हणजेच आपल्या समस्येचं ५३ व १ ह्या संख्यांनी समाधान झालं (ह्या दोन्ही पूर्णांक संख्या आहेत इकडे लक्ष असू द्या). पण तुम्ही २ रुपयाची ५८ नाणी दिलीत व दुकानदाराने ५ रुपयाची तीन नाणी परत केली, तरीही समस्येचं समाधान होईलंच की! आता हीच समस्या समीकरणात मांडायची झाली तर कशी मांडता येईल?

2x + 5y = 101

इथे x म्हणजे तुम्ही देणार असलेल्या २ रुपयाच्या नाण्यांची संख्या आणि y म्हणजे दुकानदार परत देणार असलेल्या ५ रुपयाच्या नाण्यांची संख्या. मुद्दा असा की प्रस्तुत समीकरणाचं समाधान फक्त पूर्णांकांनीच व्हायला हवं असेल तरीही ते वेगवेगळ्या संख्यांनी होऊ शकतं. मात्र समजा तुमच्याकडे ५ रुपयाचीच व दुकानदाराकडे १० रुपयाचीच नाणी असतील व वस्तूची किंमत १०१ रुपये असेल तर तुमचं समीकरण होईल, 5x + 10y = 101. आणि आता ह्या समीकरणाचं समाधान फक्त पूर्णांकांनीच व्हायला हवं असेल तर ते होऊ शकणारच नाही. (वाचकांनी प्रयत्न करून पाहावा). हे काय किंवा वरचं समीकरण काय, अशांना डिओफॅण्टसची समीकरणे म्हणतात, कारण डिओफॅण्टस ह्या गणितज्ञाने ह्यांच्यावर बरंच संशोधन केलं होतं.

डिओफॅण्टसच्या समीकरणांचाच एक प्रकार म्हणजे पेलची समीकरणे होय. पेलच्या समीकरणाचं सामान्य स्वरूप Nx² + 1 = y² असं असतं. ह्यात N माहीत असतो, मात्र x आणि y हे अज्ञात असतात, ज्यांच्या किंमती पूर्णांकात शोधावयाच्या असतात. ह्या सगळ्याशी हिंदू गणिताचा (किंवा गणित्यांचा) काय संबंध? असा प्रश्न तुम्हाला नक्कीच पडला असेल. तर तो असा की, जरी ह्या समीकरणांना पेलची समीकरणे म्हणत असले तरीही पेलच्या १००० वर्षे आधी जन्मलेल्या ब्रह्मगुप्त ह्या भारतीय गणित्याने ती सोडवली होती. ब्रह्मगुप्तानंतर भास्कराचार्य आणि नारायण पंडित ह्या विद्वानांनीही ती स्वतंत्ररित्या अभ्यासलीही होती व सोडवलीही होती. पेलचा जन्मसुद्धा तेव्हा झालेला नव्हता. (अजूनही ह्या समीकरणांना पेलचेच नाव संबद्ध झाले असावे हा आपला नाकर्तेपणा! दुसरं काय?) तसंच आधी उल्लेखिलेली समीकरणे (ज्यांच्याशी डिओफॅण्टसचे नाव संबद्ध झालेले आहे) आम्ही सोडवली होतीच. त्यांना ‘कुट्टक’ असे नाव आम्ही दिले होते. आपल्याकडे पेलच्या समीकरणांना वर्गप्रकृती असं म्हणत.

वर्गप्रकृतींना एकापेक्षा जास्त उकली असू शकतात हा अंदाज आपल्याला होताच. त्यामुळे असा एक प्रश्न उभा राहतो की अशी एखादी पद्धत असेल का जिच्यायोगे अशा अनेक उकली शोधून काढता येतील? ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य वगैरेंनी अशा पद्धती दिल्या आहेत. ब्रह्मगुप्त आणि भास्कराचार्य ह्यांच्या पद्धतीत मूलभूत फरक आहे तो असा, की ब्रह्मगुप्ताच्या पद्धतीत अशा एखाद्या वर्गप्रकृतीचं मुळात एखादं उत्तर माहीत असावं लागतं. मग त्या माहीत असलेल्या उत्तरावरून इतर अनेक उत्तरं काढता येतात. असं उत्तर माहीत नसेल तर चाचणी पद्धतीने (ट्रायल ऍण्ड एरर) एखादं उत्तर काढून तयार ठेवावं लागतं. ‘ब्राह्मस्फुटसिद्धांत’ ह्या आपल्या ग्रंथात ब्रह्मगुप्ताने म्हटलंय…

मूलं द्विधेष्टवर्गाद् गुणक-गुणादिष्टयुत-विहीनाच्च।

आद्यवधो गुणकगुण: सहान्त्यघातेन कृतमन्त्यम्॥

ह्याचा अर्थ असा की जर a₁, b₁ आणि a₂, b₂ ह्या किंमती दिलेल्या वर्गप्रकृतीचं समाधान करू शकत असतील तर a₁b₂ ± a₂b₁ आणि b₁b₂ ± Na₁a₂ ह्या देखील त्याच वर्गप्रकृतीचं समाधान करू शकतात. ह्याचाच अर्थ असा की एकदा का आपण चाचणी पद्धतीने काही मूलभूत उत्तरं काढू शकलो की त्यांचा उपयोग करून आपल्याला अजून काही उत्तरं मिळतात. पुन्हा त्या सर्वांचा उपयोग करून अजूनही मिळू शकतील.

उदाहरण म्हणून ब्रह्मगुप्ताने सोडवलेलं 8x² + 1 = y² समीकरण विचारात घेऊ. थोडी खटपट करता, x = 1 and y = 3 ही उत्तरे आहेत हे लक्षात येईल. आता हीच उत्तरे दोनदा विचारात घेऊ. म्हणजे, a₁ = 1, b₁ = 3 आणि a₂ = 1, b₂ = 3. प्रस्तुत समीकरणात Nची किंमत आहे 8. आता ब्रह्मगुप्ताचा सिद्धांत वापरून x = 6 आणि y = 17 ह्या अधिकच्या किमती मिळतात. आणि त्या वापरून x = 35 आणि y = 99 ह्या अधिकच्या किमती मिळतात. वाचकांनी त्यांच्या समाधानासाठी ह्या किमती वरील समीकरणात घालून आकडेमोड करून पाहावी. अर्थातच ह्या मिळालेल्या उत्तरांतून अजूनही उत्तरं शोधता येतील आणि हे सत्र असंच पुढे चालू ठेवता येईल.

मात्र ब्रह्मगुप्ताच्या ह्या पद्धतीतील त्रुटी अशी की आपल्याला निदान एक उत्तर तरी माहीत असावं लागतं किंवा आकडेमोड करून एखादं मूलभूत उत्तर तयार ठेवावं लागतं. भास्कराचार्यांनी हा दोष दूर केला. त्यांच्या पद्धतीत ‘ट्रायल ऍण्ड एरर’ मार्गाची आवश्यकताच राहत नाही. पुढील लेखात भास्कराचार्यांच्या पद्धतीवर एक नजर टाकू.

जाता जाता एका क्रूर विनोदाचा उल्लेख करायला हरकत नाही. ज्या समीकरणांना पेलची समीकरणे म्हणतात, ती पेलने मुळीच सोडवली नव्हती. ऑयलरला पाठवलेल्या एका पत्रात पेलने अशा समीकरणांचा उल्लेख केला होता आणि ऑयलरने चुकून त्या समीकरणांना पेलचे नाव दिले आणि मग ते नाव सर्वत्र झाले. म्हणजे ज्यांनी मुळात सोडवले (ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य, नारायण पंडित), त्यांना कसलंच श्रेय नाही आणि ज्याने ते सोडवलेही नाही त्याचं नाव मात्र त्यास कायमचं चिकटलं गेलं…!!!

Views expressed in the article are of the author and does not necessarily reflect the official position of Mimamsa: An Indic Inquiry.

या लेखमालेतील इतर लेख इथे वाचा.