डिओफॅण्टस समीकरणांचा एक प्रकार असलेली ‘पेल’ ह्या गणितज्ञाच्या नावाने प्रसिद्ध असलेली (मात्र पेलने कधीही न सोडवलेली) समीकरणे ह्यांचा गेल्या लेखात आपण एक धावता आढावा घेतला. पेलच्या एक हजार वर्षं आधी आमच्या ब्रह्मगुप्ताने वर्गप्रकृती प्रकारची समीकरणे (तथाकथित, ‘पेल्स एक्वेशन्स’) सोडवली होती हेही आपण पाहिलं. अर्थात ब्रह्मगुप्ताच्या पद्धतीतली छोटीशी त्रुटी अशी की तिथे आपल्याला एखादं उत्तर चाचणी पद्धतीने काढावं लागतं आणि मग त्याचा उपयोग करून आणि ब्रह्मगुप्ताची पद्धत वापरून हवी तेवढी इतर उत्तरं काढता येतात. मुळात एखाद्या समीकरणाला शेकड्यांनी उत्तरं असू शकतात हीच गोष्ट आमच्या गळी उतरत नाही आणि ह्याला मुख्य कारण आमची एकसुरी अभ्यास-पद्धती! असो!!

ज्यांना उच्च गणितात डिओफॅण्टस समीकरणे म्हणतात त्यांना आपल्याकडे ‘कुट्टक’ म्हणत असत. ह्या कुट्टकांवरही आपल्याकडे भरपूर विचार झालेला दिसून येतो. भास्कराचार्यांच्या लीलावतीत, आर्यभटाच्या आर्यभटीयात तसेच ब्रह्मगुप्ताच्या ब्राह्मस्फुटसिद्धांतात ह्या सगळ्यावर भरपूर ऊहापोह केलेला दिसतो. ह्या लेखात आपण वर्गप्रकृती सोडवण्याची भास्कराचार्यांची ‘चक्रवाल पद्धत’ पाहायची असे ठरवले होते; तथापि, मुळात कुट्टक म्हणजे काय आणि ते कसे सोडवायचे हे पाहणे आवश्यक असल्याने ह्या लेखात कुट्टक कसे सोडवायचे ते पाहू व चक्रवाल पद्धतीचा अभ्यास आपण थोडा पुढे ढकलू.

आपल्या लीलावती ग्रंथात भास्कराचार्य लिहितात…

‘शतं हतं येन युतं नवत्या विवर्जितं वा विहृतं त्रिषष्ट्या।

निरग्रकं स्यात् वद मे गुणं तं स्पष्टं पटीयान् यदि कुट्टकेऽसि॥‘

ह्यात दुसऱ्या ओळीतील ‘स्पष्टं वद मे यदि कुट्टके पटीयान् असि’ ह्या वाक्याचा मूळ गणिताशी थेट संबंध नाही. ‘जर कुट्टक प्रकारात तू विशेष प्रवीण असशील तर मला स्पष्टपणे सांग’ असा त्याचा अर्थ होतो. लीलावतीमध्ये भास्कराचार्य अनेक ठिकाणी विद्यार्थ्यांशी संवाद साधताना दिसतात. “लीलावती ही भास्कराचार्यांची कन्या असून तिला शिकवताना त्यांनी जो ग्रंथ रचला तो लीलावती” अशी अनेकांची समजूत आहे. मात्र हा समज खरा नाही हे अनेक विद्वानांनी वेगवेगळ्या प्रकारे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला आहे. आपणही आपल्या लहानशा पातळीवर ह्या कामात हातभार लावायला हरकत नाही. त्यासाठी ह्या ओळींतील ‘पटीयान्’ हे एक रूप पुरेसे आहे. ‘पटीयान्’ म्हणजे विशेष (किंवा अधिक) प्रवीण! मात्र हे पद पुल्लिंगात आहे. आचार्य जर खरंच आपल्या मुलीशीच संवाद साधत असतील तर तिला उद्देशून ते अशी पुल्लिंगातली रचना करतील का? स्त्रीलिंगात होणारे ‘पटीयसी’ हे रूप त्यांनी वापरले नसते का? कुणी शंका काढेल की, ह्यातून वृत्ताला बाधा नाही का येत? पण लीलावती वाचताना जागोजागी आपल्याला आचार्यांच्या भाषाप्रभुत्वाचाही प्रत्यय येतो. त्यामुळे व्याकरणाचा प्रचंड अभ्यास असलेले आणि कविमनाचे असे आचार्य अशी चूक करतील हे पटत नाही. जमल्यास वृत्त बदलणे किंवा अन्य शब्द वापरणे हे त्यांना सहजशक्य होते; असो. आता आपण आचार्यांच्या त्या पूर्ण ओळीचा अर्थ समजून घेऊ. त्यातील शत म्हणजे शंभर, नवति म्हणजे नव्वद व त्रिषष्टि म्हणजे त्रेसष्ट तसेच निरग्रक म्हणजे ‘शून्य बाकी’ हे लक्षात घेता त्या सर्वाचा अर्थ करणे फारसं अवघड नाही. आचार्य इथे शिष्यांना गणित घालत आहेत. ते म्हणतात…

‘एका संख्येस १०० ने गुणून त्यात ९० मिळवले किंवा त्यातून ९० वजा केले व येणाऱ्या राशीस ६३ ने भागले असता शून्य बाकी राहते. जर कुट्टक प्रकारात तू विशेष प्रवीण असशील तर ती संख्या कोणती हे मला स्पष्टपणे सांग’.

आपल्याला परिचित असलेल्या समीकरणाच्या रूपात हेच गणित लिहायचा प्रयत्न करू. जी अज्ञात संख्या आहे तिला x म्हणू. तिला १०० ने गुणून आलेल्या उत्तरात ९० मिळवायचेत किंवा वजा करायचेत. म्हणजे तयार होणारी राशी असेल . आता ह्या राशीला ६३ ने भागायचे आहे. अर्थातच त्या भागाकाराचे काहीतरी उत्तर येणारच. त्यास समजा आपण y  मानले. म्हणजे, आपले समीकरण झाले,

 (100x ± 90) / 63 = y

वाचकांनी इथे लक्षात घ्यायला पाहिजे की वरील समीकरणात xची कोणतीही किंमत घातली तरी तिच्या अनुषंगाने yची कोणतीतरी किंमत येणारच आहे. म्हणजेच x आणि yची ती विशिष्ट जोडी वरील समीकरणाचं समाधान करेलच करेल. मात्र गेल्या लेखात आपण पाहिलंच होतं की डिओफॅण्टस समीकरणातील अज्ञात पदांची किंमत धनपूर्णांकात असणे अनिवार्य असते. अर्थातच ती अट कुट्टकालाही लागू आहे. मग वरील समीकरणाचं समाधान करणाऱ्या धनपूर्णांकी संख्यांच्या जोड्या कोणत्या? अशा जोड्या अनंत असतील का? अनंत नसल्या तर किती असतील? असे अनेक प्रश्न मनात सहज उमटतात.

समजा आपण फक्त  (100x + 90) / 63 = y  इतकंच समीकरण विचारात घेतलं तर x = १८, y = ३०; x = ८१, y = १३०; x = १४४, y = २३०… अशा जोड्या मिळतात. ह्या जोड्या कशा मिळवायच्या ते आपण नंतर पाहूच, आत्ता इतकं निरखायला हरकत नाही की xच्या लगतच्या किंमतींमध्ये ६३चा फरक आहे तर yच्या लगतच्या किंमतींमध्ये १००चा फरक आहे.

ह्या ऐवजी आपण जर (100x – 90) / 63 = y  हे समीकरण विचारात घेतलं तर x = ४५, y = ७०; x = १०८, y = १७०; x = १७१, y = २७०… अशा जोड्या मिळताना दिसतात. इथेही xच्या लगतच्या किंमतींमधील ६३चा फरक तर yच्या लगतच्या किंमतींमधील १००चा फरक लक्षात यायला हरकत नाही.

थोडक्यात म्हणजे ह्या दोन्ही समीकरणांच्या समाधानासाठी x आणि y ह्यांच्या दोन भिन्न श्रेढी तयार होताना दिसताहेत. त्या श्रेढींतील जोड्या ह्या समीकरणांचं समाधान करत आहेत. त्यामुळे हेही लक्षात येईल की xची आणि yची श्रेढी आपण अशीच वाढवत हवी तितकी पुढे नेऊ शकतो आणि प्रत्येक वेळी प्रत्येक स्थानावर असलेली x आणि y ची जोडी आपण विचारात घेतलेल्या समीकरणाची उकल असेल. तसंच जरा बारकाईने विचार करता, x च्या आणि y च्या लगतच्या किंमतींमध्ये येणाऱ्या फरकाचे आकडे (अनुक्रमे, ६३ व १००) आपल्याला मूळ समीकरणांत दिसत आहेत. त्यावरून असा एक विचार स्फुरू शकतो की जर आपल्याला दिलेल्या अशा एखाद्या समीकरणाची एखादी उकल गवसली तर कदाचित तिच्यावरून आपण इतर उकल-जोड्या काढू शकू. पण मुळात एखादी अशी जोडी शोधून काढायची कशी?

लीलावतीमध्ये भास्कराचार्यांनी वर उद्धृत केलेल्या काव्यपंक्तीनंतर ह्या संबंधात विस्तृत विवेचन केलं आहे. ते म्हणतात…

‘भाज्योहार: क्षेपकश्चापवर्त्य: केनाप्यादौ सम्भवे कुट्टकार्थम्।

येन च्छिनौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चैतद्दुष्टमुद्दिष्टमेव॥

परस्परं भाजितयोर्ययोर्य: शेषस्तयो: स्यादपवर्तनं स:।

तेनापवर्तेन विभाजितौ यौ तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञकौ स्त:॥

मिथो भजेत्तौ दृढभाज्यहारौ यावत् विभाज्ये भवतीह रूपम्।

फलान्यधोधस्तदधो निवेश्य क्षेपस्तत: शून्यमुपान्तिमेन॥

स्वोर्ध्वे हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यं त्यजेन्मुहु: स्यादिति राशियुग्मम्।

ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन तष्ट: फलं गुणः  स्यादधरो हरेण॥

एवं तदेवात्र यदा समास्ता: स्युर्लब्धयश्चेद्विषमास्तदानीम्।

यदागतौ लब्धिगुणौ विशोध्यौ स्वतक्षणाच्छेषमितौ तु तौ स्त:॥’

इतक्या सगळ्या पंक्तींचं विवेचन प्रस्तुत लेखात करणं शक्यच नाही. तेव्हा आत्ता आपण इथेच थांबत आहोत. पुढल्या लेखात आपण ह्या ओळींचा स्थूल अर्थ समजून घेऊ आणि वर उल्लेखिलेल्या समीकरणांपैकी एखादं तरी सोडवून पाहू. तोवर वाचकांनी भास्कराचार्यांच्या काव्यविलासाचा आस्वाद घ्यावा. वर कितीतरी ठिकाणी आचार्यांनी अनुप्रास अलंकाराचा आश्रय घेतलाय व कठीण गणिताला काव्याच्या कोंदणात कसं छान सजवलंय ते पाहा.

Views expressed in the article are of the author and does not necessarily reflect the official position of Mimamsa: An Indic Inquiry.

या लेखमालेतील इतर लेख इथे वाचा.